A guerra contra o Covid-19 lóitase en moitas frontes. Entre as armas que achegan as matemáticas destacan tres: o modelo SIR, que realiza predicións como o previsible pico de contagios en España a principios de abril; o teorema de Bayes, que axuda a actualizar a probabilidade de que se estenda Covid-19 con novos datos; e a teoría de xogos, que nos fala de sacrificar o beneficio individual polo ben común para vencer a este inimigo invisible.
Desde que o novo coronavirus SARS-Cov-2 saíu de China e a enfermidade Covid-19 estendeuse polo mundo, os países aos que chegou a pandemia tomaron medidas drásticas para aplanar as súas curvas de infectados diarios, é dicir, baixar e atrasar o seu pico o máximo posible para que non colapsen os sistemas sanitarios.
Detrás desas gráficas hai modelos matemáticos que recollen as características dos brotes epidémicos e permiten realizar predicións. Sen dúbida un dos máis utilizados é o modelo SIR, cuxas siglas fan referencia ás tres curvas ou grupos de poboación implicados nunha epidemia: os susceptibles (S) de contraer a enfermidade, os infectados (I) e os recuperados (R).
SIR é un modelo moi flexible que permite ver como varía o número de persoas susceptibles de contaxio, as infectadas e as recuperadas, confirmando a importancia de aplanar a curva dos infectados
Nalgunhas versións os falecidos inclúense en R (aínda que resulte irónico) para facilitar os cálculos, pero na maioría saen do sistema, xa que as persoas poden morrer (tamén nacer e pódese considerar) estando en calquera dos tres grupos.
“A suma do número de susceptibles, recuperados, infectados e falecidos é constante en calquera instante de tempo e é igual á poboación inicial”, explica a matemática Anabel Forte, da Universidade de Valencia, quen destaca a flexibilidade deste modelo de ecuacións diferenciais para entender como varía o número de persoas en cada categoría, así como o esforzo actual para aplanar unha das curvas: a de infectados.
Outro matemático, Manuel de León, do Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), lembra que SIR “é o modelo compartimental de Kermack-McKendrick, inspirado á súa vez no de Ronald Ross –que en 1911 modelizó a propagación da malaria–. A idea do modelo compartimental é dividir a poboación en compartimentos e ver como se pasa dun a outro, neste caso de S a I e logo a R”.
“Unha cuestión relevante é o valor dos parámetros que incluímos nas ecuacións diferenciais, porque nunha epidemia nova como esta non os coñecemos a priori e ímolos a ir estimando”, apunta De León, quen subliña a importancia dun dos parámetros: R0, que indica a media de infeccións que causa un individuo contaxiado.
“R0 calcúlase a partir dos parámetros do modelo e pode cambiarse se modificamos o noso comportamento”, engade Forte, “e este número de persoas ás que alguén infectado vai contaxiar ten que ver coa virulencia da enfermidade e co número de contactos que mantemos”. De aí a importancia de seguir as recomendacións higiénicosanitarias e o illamento que piden as autoridades.
Dependendo do R0, pódese aplanar a curva de infectados: “O ideal é que estea por baixo de 1 porque así, a epidemia irá desaparecendo por se soa”, di a matemática. O R0 do coronavirus en circunstancias normais anda entre 1,5 e 2,5, que non é demasiado alto comparado co do sarampelo, por exemplo, que está entre 14 e 15. Pero iso non significa que non sexa perigoso. Só hai que acordarse de que o da gripe española foi de 2,1. O importante é reducilo”.
Predicións para Galicia e España
Unha das extensións do modelo SIR é SEIR, un sistema de ecuacións onde se incorpora diferenciada a poboación exposta (E), aquelas persoas que incuban o virus sen mostrar síntomas. Un grupo de investigadores de universidades galegas e de Portugal utilizárono para modelizar a evolución da pandemia e axudar na toma de decisións.
Segundo un modelo desenvolvido en universidades galegas, o pico da epidemia alcanzarase en España previsiblemente a principios de abril
“Adaptandonos ás características propias de COVID-19, engadimos tres subpoblaciones (P de superpropagadores, A de infectados pero asintomáticos, H de hospitalizados) ao modelo, con parámetros axustados en función dos datos propios deste coronavirus desde que empezou en China”, explica un dos autores, Juan José Nieto, da Universidade de Santiago de Compostela. “Mentres traballabamos co modelo, ao facerse público o 4 de marzo o primeiro positivo en Galicia, reparamos que o pico da epidemia produciríase ao redor da primeira semana de abril, feito que puxemos en coñecemento das nosas autoridades”, sinala Nieto, e a predición pódese estender a toda España: “Dado que ese máximo pódese alcanzar aos 20-35 días do primeiro caso, o pico alcanzarase previsiblemente a principios de abril”
Outras ferramentas matemáticas
Ademais dos modelos epidemiolóxicos, outras ferramentas como as teorías e os teoremas matemáticos tamén teñen a súa aplicación nas predicións e circunstancias que rodean a esta pandemia.
Un exemplo é o teorema de Bayes, que describe a probabilidade dun suceso baseándose no coñecemento previo das condicións relacionadas con ese suceso. De León resúmeo así: “A información acerca dun determinado fenómeno tras a análise dos datos (distribución a posteriori), obtense actualizando os coñecementos previos (distribución a priori) cos novos datos (información que imos obtendo das mostras)”.
O teorema de Bayes axuda a actualizar o noso coñecemento sobre a probabilidade de que se estendan enfermidades como COVID-19 a medida que se van tendo novos datos
O matemático ofrece un exemplo teórico do que a estatística bayesiana pode achegar: “En determinados casos podemos deducir que vacinar aos nenos é mellor solución que vacinar a toda a poboación, ou a un segmento da poboación por encima dunha certa idade, porque sexan os maiores transmisores desa enfermidade. Desta forma podemos ser máis eficaces en combater unha epidemia”.
“O teorema de Bayes é unha ferramenta estatística que nos pode axudar a actualizar o noso coñecemento sobre a probabilidade de que se estendan enfermidades como Covid-19 a medida que se van tendo novos datos”, apunta Forte.
A investigadora tamén destaca a importancia das matemáticas para fomentar actitudes positivas da xente fronte a esta crise sanitaria, como os ensinos da teoría de xogos, moi utilizada en economía, informática e outros campos para estudar como conseguir o maior beneficio en situacións de competitividade.
A teoría de xogos ensínanos que se me comporto ben, terei menos opcións de contaxiarme, e fálanos da solidariedade: reducir o beneficio individual en pos do ben común
Un dos problemas clásicos desta teoría é o dilema do prisioneiro, que en principio mostra que dous individuos poderían non cooperar, aínda que pareza que o mellor para ambos sexa facelo. Pero o dilema pódese expor de diversas formas e en distintos escenarios, con ganancias maiores ou menores para os participantes. Considerando, por exemplo, se se deben illar dous individuos asintomáticos contaxiados polo coronavirus, a opción na que gañamos todos é que ambos o fagan, non un só, como recolle en Twitter a matemática Clara Grima da Universidade de Sevilla.
A teoría de xogos foise incorporando aos modelos para ter en conta o comportamento social dos individuos, apunta De León, quen expón preguntas relacionadas con Covid-19: “Somos obedientes ás instrucións que nos dan a fin de reducir os contactos e as transmisións?, lavámonos as mans como nos aconsellan?, como inflúe a comunicación desde as autoridades e os medios de comunicación no noso comportamento? Pasa como en teoría de xogos: se me comporto ben, terei menos opcións de contaxiarme”.
Pola súa banda, Forte conclúe: “Eu creo que a teoría de xogos aquí fálanos da solidariedade en varios sentidos. Aínda que a ti persoalmente amóleche, se todos quedámonos na casa axudamos a reducir o R0 e, por tanto, ao ben común. Pero tamén ten que ver coas compras nos supermercados. Se todos vamos como tolos a encher as despensas, haberá xente que o pase mal e non teña que comer. Trátase de reducir o beneficio individual en pos do ben común”.
